Ziegenproblem

Ziegenproblem Rückblick auf das Problem, die Zwei-Drittel-Lösung und den Fifty-fifty-Irrtum

Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma ist eine Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitstheorie. Der Moderator öffnet eines der anderen beiden Tore mit einer Ziege dahinter und fragt den Kandidaten zum letzten Mal, ob er das Tor nicht. Ziegenproblem-Simulator. Klicken Sie auf eines der Tore, um das Ziegenproblem spielerisch zu entdecken. Weitere Information unten auf dieser Seite. Dies ist das Ziegenproblem, das im angelsächsischen Sprachraum»Monty Hall Problem«genannt wird. Es geht auf die Spielshow Let's Make a Deal zurück, eine. Der Zwist um das Drei-Türen-Problem (Ziegenproblem) wurde im Jahr von Marilyn vos Savant in einer ihrer Kolumnen angestoßen.

Ziegenproblem

Der Moderator öffnet eines der anderen beiden Tore mit einer Ziege dahinter und fragt den Kandidaten zum letzten Mal, ob er das Tor nicht. Der Zwist um das Drei-Türen-Problem (Ziegenproblem) wurde im Jahr von Marilyn vos Savant in einer ihrer Kolumnen angestoßen. Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma ist eine Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitstheorie. After choosing a box at random and withdrawing one coin at random that happens to be a gold coin, the question is what is the probability that the other coin is gold. Aufgabenzettel 6. Tierney Due to the overwhelming response, Parade published an unprecedented four columns on the problem. I have not changed that. Untersuchungen, bei denen der Kandidat den Moderator auch dahingehend einschätzt, seine Torauswahl nicht gleichwahrscheinlich vorzunehmen, wurden erstmals von Morgan et al. Er fügte hinzu, dass Ziegenproblem Berechnungen auf bestimmten, nicht expliziten, GrГјnde FГјr Online Spielsucht bzgl. Das erste Argument wird durch den ausgeglichenen Moderator Batman Spielen, das zweite wird anhand der erfahrungsbezogenen Antwort und das dritte anhand des faulen Die Schlimmsten Drogen ausgeführt.

Leserbriefe 15 min Nach der ersten Spielrunde erhalten die Gruppen zwei Leserbriefe zu lesen. Die beiden Leserbriefe beziehen sich dabei auf die vorgeschlagene Lösung von Marilyn vos Savant, die dieses Problem publik machte.

DIe SchülerInnen in den Gruppen sollen sich kritisch mit den beiden Leserbriefen auseinandersetzen und ihre Einschätzung dazu abgeben.

Aufgabenzettel 3. Spielrunde 20 min Mit den hoffentlich gewonnen Erkenntnissen und dem Auseinandersetzen mit der vermeintlichen Lösung, spielen die SchülerInnen eine weitere Runde.

Ziel wäre es, dass die SchülerInnen jetzt öfters die Ass Karte erwischen, als wie noch zuvor in der ersten Runde. Aufgabenzettel 4.

Mit Hilfe der Ergebnisse sollen die relativen Häufigkeiten berechnet werden, dass man gewinnt oder verliert wenn man die Karte wechselt.

Aufgabenzettel 5. Zusammenfassung der Ergebnisse aller Gruppen 5 min Um noch aussagekräftigere Ergebnisse zu bekommen, werden die Ergebnisse aller Gruppen zusammengefasst.

Aufgabenzettel 6. Wenn die SchülerInnen Fall für Fall durchgehen, sollte es ihnen meiner Meinung nach gut gelingen, das Ziegenproblem zu verstehen und auf die Lösung zu kommen.

Aufgabenzettel 7. Aufgabenzettel 8. Hinter dem von ihm geöffneten Tor muss sich eine Ziege befinden. Ist es vorteilhaft, Ihre Wahl zu ändern?

Insbesondere hat der Moderator die Möglichkeit, frei darüber zu entscheiden, welches Tor er öffnet, wenn er die Auswahl zwischen zwei Ziegentoren hat Sie haben also zuerst das Auto-Tor gewählt.

Aufgeteilt in Einzelschritte, ergeben sich damit die folgenden Spielregeln, die dem Kandidaten, der ein Auto gewinnen kann, bekannt sind: [9]. Mit einer solchen Zusatzannahme entsteht jeweils ein anderes Problem, das zu unterschiedlichen Gewinnchancen bei der Torauswahl des Kandidaten führen kann.

Dazu wird immer vorausgesetzt, dass der Kandidat die dem Moderator unterstellte Entscheidungsprozedur kennt.

Wie soll sich der Kandidat im vorletzten Schritt entscheiden, wenn er zunächst Tor 1 gewählt und der Moderator daraufhin Tor 3 mit einer Ziege dahinter geöffnet hat?

Wegen der Symmetrie im Regelwerk, insbesondere wegen der Spielregeln 4 und 5, wird diese Wahrscheinlichkeit durch das Öffnen eines anderen Tors mit einer Ziege dahinter nicht beeinflusst.

Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 oder 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung.

Das entspricht einem Zufallsexperiment, bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleich wahrscheinlich ist Laplace-Experiment.

Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet das ist die Bedingung.

Das sind die Fälle 2, 4 und 5. Man sieht, dass in zwei dieser drei Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Unter den Voraussetzungen, dass der Kandidat zunächst Tor 1 gewählt hat und der Moderator Tor 3 mit einer Ziege dahinter öffnet, befindet sich das Auto also in zwei Drittel der Fälle hinter Tor 2.

Der Kandidat sollte also seine Wahl zugunsten von Tor 2 ändern. Genauso kann aus der Tabelle abgelesen werden, dass dann, wenn der Moderator anstelle von Tor 3 das Tor 2 öffnet, der Kandidat durch Wechseln auf Tor 3 ebenfalls in zwei von drei Fällen das Auto gewinnt.

Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes ermitteln. Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat.

Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. Obwohl es hier ausreichen würde, die drei ersten Spielsituationen zu betrachten, werden sechs Fälle unterschieden, um die Problemstellung vergleichbar mit der obigen tabellarischen Lösung beim ausgeglichenen Moderator modellieren zu können.

Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Das sind die Fälle 1, 2, 4 und 5. Man sieht, dass nur in zwei von vier dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt.

Es kann ebenso leicht aus der Tabelle abgelesen werden, dass, wenn der Moderator Tor 2 öffnet, der Kandidat sicher gewinnt, wenn er zu Tor 3 wechselt.

Es liegt die folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Es gelten dann folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:.

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto tatsächlich hinter Tor 1 befindet, gilt aber ebenfalls.

Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1. Der Kandidat kann demnach in diesem Fall also ebenso gut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln.

Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:. Nachdem Monty Hall die Aufgabenstellung genau gelesen hatte, spielte er mit einem Versuchskandidaten das Spiel so, dass dieser bei einem Wechsel stets verlor, indem er den Wechsel immer nur dann anbot, wenn der Kandidat im ersten Schritt das Gewinn-Tor gewählt hatte.

Diese Unklarheit könne beseitigt werden, indem der Moderator vorher verspreche, eine andere Tür zu öffnen und danach einen Wechsel anzubieten.

Vos Savant bestätigte diese Unklarheit in ihrer ursprünglichen Problemstellung und dass dieser Einwand, wenn er von ihren Kritikern gebracht worden wäre, gezeigt hätte, dass sie das Problem wirklich verstanden haben; aber sie hätten nie ihre erste falsche Auffassung aufgegeben.

In ihrem später veröffentlichten Buch [9] schreibt sie, dass sie auch Briefe von Lesern erhalten habe, die auf diese Unklarheit hingewiesen hatten.

Diese Briefe seien aber nicht veröffentlicht worden. Alles hängt von seiner Laune ab. Da besteht kein Unterschied. Er wollte eine einfache Lösung ohne Entscheidungsbäume.

Ich gab an diesem Punkt auf, weil ich keine Erklärung auf der Basis des gesunden Menschenverstands habe. Das gehört zu den Spielregeln und muss in die Betrachtungen einbezogen werden.

Er fügte hinzu, dass seine Berechnungen auf bestimmten, nicht expliziten, Annahmen bzgl. In den Publikationen zum Ziegenproblem Monty-Hall-Problem werden, manchmal sogar innerhalb einer Publikation, unterschiedliche Fragestellungen und Modelle untersucht.

During —, three more of her columns in Parade were devoted to the paradox vos Savant — The discussion was replayed in other venues e. In an attempt to clarify her answer, she proposed a shell game Gardner to illustrate: "You look away, and I put a pea under one of three shells.

Then I ask you to put your finger on a shell. Then I simply lift up an empty shell from the remaining other two. As I can and will do this regardless of what you've chosen, we've learned nothing to allow us to revise the odds on the shell under your finger.

Vos Savant commented that, though some confusion was caused by some readers' not realizing they were supposed to assume that the host must always reveal a goat, almost all her numerous correspondents had correctly understood the problem assumptions, and were still initially convinced that vos Savant's answer "switch" was wrong.

When first presented with the Monty Hall problem, an overwhelming majority of people assume that each door has an equal probability and conclude that switching does not matter Mueser and Granberg, Most statements of the problem, notably the one in Parade Magazine, do not match the rules of the actual game show Krauss and Wang, and do not fully specify the host's behavior or that the car's location is randomly selected.

Granberg and Brown, ; Tierney ; VerBruggen Krauss and Wang conjecture that people make the standard assumptions even if they are not explicitly stated.

Although these issues are mathematically significant, even when controlling for these factors, nearly all people still think each of the two unopened doors has an equal probability and conclude that switching does not matter Mueser and Granberg, This "equal probability" assumption is a deeply rooted intuition Falk People strongly tend to think probability is evenly distributed across as many unknowns as are present, whether it is or not Fox and Levav, The problem continues to attract the attention of cognitive psychologists.

The typical behavior of the majority, i. Experimental evidence confirms that these are plausible explanations that do not depend on probability intuition Kaivanto et al.

There, the possibility exists that the show master plays deceitfully by opening other doors only if a door with the car was initially chosen.

A show master playing deceitfully half of the times modifies the winning chances in case one is offered to switch to "equal probability".

Among these sources are several that explicitly criticize the popularly presented "simple" solutions, saying these solutions are "correct but Some say that these solutions answer a slightly different question — one phrasing is "you have to announce before a door has been opened whether you plan to switch" Gillman , emphasis in the original.

However, the probability of winning by always switching is a logically distinct concept from the probability of winning by switching given that the player has picked door 1 and the host has opened door 3.

As one source says, "the distinction between [these questions] seems to confound many" Morgan et al. The fact that these are different can be shown by varying the problem so that these two probabilities have different numeric values.

For example, assume the contestant knows that Monty does not pick the second door randomly among all legal alternatives but instead, when given an opportunity to pick between two losing doors, Monty will open the one on the right.

In this situation, the following two questions have different answers:. For this variation, the two questions yield different answers. Morgan et al.

Four university professors published an article Morgan et al. In an invited comment Seymann and in subsequent letters to the editor, vos Savant c ; Rao ; Bell, ; Hogbin and Nijdam, Morgan et al.

In particular, vos Savant defended herself vigorously. Later in their response to Hogbin and Nijdam , they did agree that it was natural to suppose that the host chooses a door to open completely at random, when he does have a choice, and hence that the conditional probability of winning by switching i.

This equality was already emphasized by Bell , who suggested that Morgan et al. There is disagreement in the literature regarding whether vos Savant's formulation of the problem, as presented in Parade magazine, is asking the first or second question, and whether this difference is significant Rosenhouse Behrends concludes that "One must consider the matter with care to see that both analyses are correct"; which is not to say that they are the same.

One analysis for one question, another analysis for the other question. Several critics of the paper by Morgan et al. One discussant William Bell considered it a matter of taste whether or not one explicitly mentions that under the standard conditions , which door is opened by the host is independent of whether or not one should want to switch.

Among the simple solutions, the "combined doors solution" comes closest to a conditional solution, as we saw in the discussion of approaches using the concept of odds and Bayes theorem.

It is based on the deeply rooted intuition that revealing information that is already known does not affect probabilities. But, knowing that the host can open one of the two unchosen doors to show a goat does not mean that opening a specific door would not affect the probability that the car is behind the initially chosen door.

The point is, though we know in advance that the host will open a door and reveal a goat, we do not know which door he will open.

If the host chooses uniformly at random between doors hiding a goat as is the case in the standard interpretation , this probability indeed remains unchanged, but if the host can choose non-randomly between such doors, then the specific door that the host opens reveals additional information.

The host can always open a door revealing a goat and in the standard interpretation of the problem the probability that the car is behind the initially chosen door does not change, but it is not because of the former that the latter is true.

Solutions based on the assertion that the host's actions cannot affect the probability that the car is behind the initially chosen appear persuasive, but the assertion is simply untrue unless each of the host's two choices are equally likely, if he has a choice Falk , The assertion therefore needs to be justified; without justification being given, the solution is at best incomplete.

The answer can be correct but the reasoning used to justify it is defective. The solutions in this section consider just those cases in which the player picked door 1 and the host opened door 3.

If we assume that the host opens a door at random, when given a choice, then which door the host opens gives us no information at all as to whether or not the car is behind door 1.

Moreover, the host is certainly going to open a different door, so opening a door which door unspecified does not change this.

But, these two probabilities are the same. By definition, the conditional probability of winning by switching given the contestant initially picks door 1 and the host opens door 3 is the probability for the event "car is behind door 2 and host opens door 3" divided by the probability for "host opens door 3".

These probabilities can be determined referring to the conditional probability table below, or to an equivalent decision tree as shown to the right Chun ; Carlton ; Grinstead and Snell — The conditional probability table below shows how cases, in all of which the player initially chooses door 1, would be split up, on average, according to the location of the car and the choice of door to open by the host.

Many probability text books and articles in the field of probability theory derive the conditional probability solution through a formal application of Bayes' theorem ; among them Gill, and Henze, Use of the odds form of Bayes' theorem, often called Bayes' rule, makes such a derivation more transparent Rosenthal, a , Rosenthal, b.

This remains the case after the player has chosen door 1, by independence. According to Bayes' rule , the posterior odds on the location of the car, given that the host opens door 3, are equal to the prior odds multiplied by the Bayes factor or likelihood, which is, by definition, the probability of the new piece of information host opens door 3 under each of the hypotheses considered location of the car.

Given that the host opened door 3, the probability that the car is behind door 3 is zero, and it is twice as likely to be behind door 2 than door 1.

Richard Gill analyzes the likelihood for the host to open door 3 as follows. Given that the car is not behind door 1, it is equally likely that it is behind door 2 or 3.

In words, the information which door is opened by the host door 2 or door 3? Consider the event Ci , indicating that the car is behind door number i , takes value Xi , for the choosing of the player, and value Hi , the opening the door.

Then, if the player initially selects door 1, and the host opens door 3, we prove that the conditional probability of winning by switching is:.

Going back to Nalebuff , the Monty Hall problem is also much studied in the literature on game theory and decision theory , and also some popular solutions correspond to this point of view.

Vos Savant asks for a decision, not a chance. And the chance aspects of how the car is hidden and how an unchosen door is opened are unknown.

From this point of view, one has to remember that the player has two opportunities to make choices: first of all, which door to choose initially; and secondly, whether or not to switch.

Since he does not know how the car is hidden nor how the host makes choices, he may be able to make use of his first choice opportunity, as it were to neutralize the actions of the team running the quiz show, including the host.

Following Gill, a strategy of contestant involves two actions: the initial choice of a door and the decision to switch or to stick which may depend on both the door initially chosen and the door to which the host offers switching.

For instance, one contestant's strategy is "choose door 1, then switch to door 2 when offered, and do not switch to door 3 when offered".

Twelve such deterministic strategies of the contestant exist. Elementary comparison of contestant's strategies shows that, for every strategy A, there is another strategy B "pick a door then switch no matter what happens" that dominates it Gnedin, No matter how the car is hidden and no matter which rule the host uses when he has a choice between two goats, if A wins the car then B also does.

For example, strategy A "pick door 1 then always stick with it" is dominated by the strategy B "pick door 1 then always switch after the host reveals a door": A wins when door 1 conceals the car, while B wins when one of the doors 2 and 3 conceals the car.

Similarly, strategy A "pick door 1 then switch to door 2 if offered , but do not switch to door 3 if offered " is dominated by strategy B "pick door 3 then always switch".

Dominance is a strong reason to seek for a solution among always-switching strategies, under fairly general assumptions on the environment in which the contestant is making decisions.

In particular, if the car is hidden by means of some randomization device — like tossing symmetric or asymmetric three-sided die — the dominance implies that a strategy maximizing the probability of winning the car will be among three always-switching strategies, namely it will be the strategy that initially picks the least likely door then switches no matter which door to switch is offered by the host.

Strategic dominance links the Monty Hall problem to the game theory. In the zero-sum game setting of Gill, , discarding the non-switching strategies reduces the game to the following simple variant: the host or the TV-team decides on the door to hide the car, and the contestant chooses two doors i.

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Ziegenproblem / Monty-Hall-Problem ● Gehe auf chatteriedescitesdor.be \u0026 werde #EinserSchüler As I can and will do this regardless of what you've chosen, we've learned nothing to allow us to revise the odds on the shell under your finger. Vermutungen aufstellen Zufallsexperimente modellieren die Wahrscheinlichkeit Beste Spielothek in Putzkau finden Ziegenproblems bestimmen bzw. Many readers of vos Savant's column refused to believe switching is beneficial despite her explanation. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. All-pay auction Alpha—beta pruning Bertrand paradox Bounded rationality Combinatorial game theory Confrontation analysis Coopetition Evolutionary game theory First-move advantage Ziegenproblem chess Game mechanics Glossary of Beste Spielothek in Dehnbostel finden theory List of game theorists List of games in game theory No-win situation Solving chess Topological game Tragedy of the commons Tyranny of small decisions. But, knowing that the host can open one of the two unchosen doors to show a goat does not mean that opening a specific door would not affect the probability that the car is behind the initially chosen door. Casino Jobs Wien allem die Lösung des Problems sollte mit der gesamten Klasse genauer besprochen werden, da es sein kann, dass nicht alle die Lösung verstanden haben bzw. The player wants to win the car, the TV station wants to keep it. The fact that the host subsequently reveals a goat in one of the unchosen doors Ziegenproblem nothing about the initial probability. A probability puzzle. Die Wahrscheinlichkeit, mit der sich das Auto hinter dem anderen, zuvor nicht gewählten Tor befindet, ist höher. Auf die Frage, ob ein Wechsel Ziegenproblem Vorteil ist, gibt es beim Verzicht auf die Annahme eines fairen Showmasters keine schlüssige Antwort. Amen sagt:. Bewertungen: 4durchschnittlich: 4, Ich habe in meinem letzten Post inhaltlich FuГџball Tipps Vorhersage Anderes geschrieben als in meinem Artikel TetriГџ meinen bisherigen Posts. In den Bildern der folgenden Tabelle ist das gewählte Tor willkürlich als das linke Tor dargestellt:. Übrigens: Ich habe seit nie Leute getroffen, die die Zwei-Drittel-Lösung für die korrekt gestellte Aufgabe bezweifelt haben. Das Ziegenproblem ist auch als "Monty Hall Problem" bekannt. Setze ein Lesezeichen auf den Permalink. Bild: von Daniel Oines. Klicken Sie auf eines der Tore, um das Ziegenproblem spielerisch zu entdecken. Erfahren sie mehr über Mainz 05 KГ¶ln Redaktionsteam, unsere Autoren und unsere Arbeitsprozesse. Die folgenden drei Szenarien können mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten:. Das „Ziegenproblem“. Monty open chatteriedescitesdor.be In einer Quizshow kann sich der Kandidat zwischen drei Türen entscheiden. Hinter einer wartet. Kennen Sie Geh auf's Ganze? In der Gewinnshow standen über Kandidaten vor dem Ziegenproblem. Lesen Sie hier, worum es dabei. Ziegenproblem Meine Erinnerung sagt mir: Ich nicht. Jan Uliczka sagt:. Hinter einem ist ein Auto, hinter den beiden anderen befindet sich jeweils eine Ziege. Plea Gladbach sie konnten nicht 2 Karte Sky, dass Bildungsforscher einen Mathematik-Leistungskurs mit einem derart simplen Beste Spielothek in Liebersberg finden behelligen würden. In den Publikationen zum Ziegenproblem Monty-Hall-Problem werden, manchmal sogar innerhalb Beste Spielothek in Neuschitz finden Publikation, unterschiedliche Fragestellungen und Modelle untersucht. Monty Ziegenproblem moderierte bereits in den 60er Jahren die Show "Let's make a deal". Erst einige Jahre später wurde der Blickwinkel auf die Aufgabe geändert und eine einfach verständliche Lösung veröffentlicht. Dennoch bleibt die Frage: Wie erkläre ich es einem Mathematiker oder gar einem mathematikfernen Normalbürger?

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